As quinze bolas do snooker

Como ninguém respondeu acertadamente a este desafio e tivemos alguns pedidos da solução, apresentamos uma das soluções, uma vez que pode haver outras.

Vencedores do concurso

Os Vencedores do concurso de desafios levado a efeito neste blogue foram:

1º Beatriz Varela - 11º A
2º Carlos Carvalho - 11º A
3º Tiago Borges - 11º C

Parabéns aos 3alunos e a todos quantos participaram.

Entrega de prémios

Vai decorrer amanhã, dia 7 de Junho , a entrega dos prémios aos alunos melhor classificados nos concursos de desafios dos blogues "À Volta da Matemática" e " Pensar e Fazer Pensar".
Serão ainda entregues Diplomas aos alunos melhor classificados no concurso "Canguru Matemático sem Fronteiras 2010.
A partir das 14:20, no palco à entrada da Escola decorrerão estas e outras actividades.
Contamos com a presença de todos.

Vencedores de "As quinze bolas do snooker"

Infelizmente, nenhuma das respostas ao desafio do mês de Maio estava correcta. Deixamos este problema como exercício para as férias que se aproximam.

As quinze bolas do snooker

O Snooker é um jogo em que se usam quinze bolas, numeradas de 1 a 15.
Como colocar as quinze bolas de modo a formar um triângulo de diferenças, isto é, de tal modo que, nas filas inferiores, cada bola seja igual à diferença entre as duas bolas que lhe estão por cima?

Até ao dia 31 de Maio, deves enviar um único e-mail para o endereço avoltadamatematica@gmail.com com o seguinte:
• O teu nome completo, número, turma e ano de escolaridade;
• O modo como colocar as quinze bolas.

O(s) vencedor(es) será(ão) aquele(s) que responder(em) correctamente à questão.

Vencedores de "Uma ilha nos mares do sul"

Se seguirmos a nossa intuição, que parece ter sido o caso da Beatriz Oliveira do 11.º A, a vencedora deste mês, podemos afirmar que a solução é colocar a casa no centro da ilha. No entanto, o «surfista» pode construir a casa em qualquer local da ilha, que a soma dos comprimentos das três estradas é sempre a mesma. Uma maneira convincente de ver isto é usando uma programa de geometria dinâmica.

Uma ilha nos mares do sul

Um milionário surfista comprou uma ilha nos mares do sul em forma de triângulo equilátero (três lados iguais). Como cada um dos lados da ilha é uma praia óptima para fazer «surf», ele pretende construir uma casa num ponto tal que a soma das distâncias da casa às três praias seja a mínima possível. Isto para que o conjunto das três estradas a abrir no arvoredo tropical custem o menos possível. (É milionário, mas é poupado.)

Em que posição da ilha deve construir a casa?

Até ao dia 30 de Abril, deves enviar um único e-mail para o endereço avoltadamatematica@gmail.com com o seguinte:
• O teu nome completo, número, turma e ano de escolaridade;
• A posição da ilha em que deve ser construída a casa e uma justificação para essa posição.

O(s) vencedor(es) será(ão) aquele(s) que responder(em) correctamente à questão.

Vencedores de "Quantas voltas dá a moeda?"

Infelizmente, nenhum aluno enviou a resposta correcta ao desafio do mês de Março.

A nossa intuição leva-nos a dar a resposta errada: a moeda dá um volta sobre si própria ao fim de dar uma volta em torno da moeda fixa. A nossa intuição falha porque apenas conta com o facto de a moeda deslizar sem derrapar sobre a outra moeda. Mas esquece-se do facto de esse deslizamento ser sobre outra moeda (portanto sobre uma circunferência e não sobre uma recta), o que implica uma componente de mudança de direcção.

Se experimentarmos cuidadosamente com moedas reais, verifica-se que ao fim de um quarto de volta relativamente à moeda fixa já a moeda que se move efectuou meia rotação, pelo que a moeda que se desloca efectua duas rotações completas quando volta à posição inicial.

Quantas voltas dá a moeda?

Temos duas moedas perfeitamente iguais, por exemplo de 1 euro. Fazemos rodar uma delas em torno da outra, mantendo sempre o contacto mas sem derrapar.
Quando a moeda que está a rodar volta à posição inicial, quantas voltas deu sobre si própria?

Até ao dia 31 de Março, deves enviar um único e-mail para o endereço avoltadamatematica@gmail.com com o seguinte:
• O teu nome completo, número, turma e ano de escolaridade;
• O número de voltas que a moeda dá sobre si própria e uma justificação para esse número.

O(s) vencedor(es) será(ão) aquele(s) que responder(em) correctamente à questão.

Vencedora de "O torneio por eliminatórias"

A Beatriz Oliveira, do 11.º A, foi a vencedora do desafio do mês de Fevereiro com a seguinte resposta:

«Tem-se 37 jogadores, tira-se à sorte um que passará automaticamente à próxima fase, os restantes 36 competem entre si em jogos de 2, logo realizam-se 18 jogos. Dos 19 jogadores da 2.ª eliminatória, escolhe-se novamente à sorte um que passa à 3.ª fase, os 18 restantes jogam novamente entre si, irão-se realizar 9 jogos, logo na 3.ª fase tem-se 10 jogadores no total. Da 3.ª para a 4.ª fase, realizam-se 5 jogos, desses cinco são apurados 5. Em seguida um deles tira à sorte e passa à fase seguinte, a 5.ª fase, e os restantes 4 jogam entre si, haverá 2 jogos e serão apurados 2 jogadores. Na 6.ª fase é apurado novamente 1 jogado que tira à sorte e realiza-se 1 jogo com os outros 2 jogadores. Por fim realiza-se 1 jogo com os dois finalistas.
Logo vão-se realizar 18+9+5+2+1+1= 36 jogos.»

Apresentou uma esquema que evidencia a resolução apresentada.

Parabéns à Beatriz e a todos os alunos que participaram.

Uma outra resolução, talvez mais simples, seria a seguinte: para, dos 37 participantes, haver um vencedor, 36 terão de ser eliminados. Ora, como a eliminação dos jogadores ocorre através da realização de um jogo, teriam de ser efectuados 36 jogos.